已知二次函数y1=mx2-2mx-3（m>0）与一次函数y2=x+1，令W=y1-y2．（1）若y1、y2的函数图象交于x轴上的同一点．①求m的值；②当x为何值时，W的值最小，试求出该最小值；（2）当-2<x<3时，W随x

Question

已知二次函数y₁=mx²-2mx-3（m>0）与一次函数y₂=x+1，令W=y₁-y₂．
（1）若y₁、y₂的函数图象交于x轴上的同一点．
①求m的值；
②当x为何值时，W的值最小，试求出该最小值；
（2）当-2<x<3时，W随x的增大而减小．
①求m的取值范围；
②求证：y₁<y₂．

Answer 1

（1）①∵y₁、y₂的函数图象交于x轴上的同一点，一次函数y₂=x+1过（-1，0），
∴二次函数y₁=mx²-2mx-3（m>0）过（-1，0），
∴0=m+2m-3，
解得：m=1；

②W=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4=（x-(3)/(2)）²-(25)/(4)，
当x=(3)/(2)时，W的值最小，最小值为：-(25)/(4)；

（2）① W=mx²-2mx-3-x-1=mx²-（2m+1）x-4，
对称轴为：x=-(-(2m+1))/(2m)=(2m+1)/(2m)，
因为m>0，-2<x<3时，且W随x的增大而减小，
所以，(2m+1)/(2m)≥3，
所以m≤(1)/(4)，
所以0<m≤(1)/(4)，

②证明：当x=-2时，W₀=y₁-y₂=8m-2，
因为-2<x<3时，W随x的增大而减小．
所以，W<W₀=8m-2，
因为0<m≤(1)/(4)，所以8m-2≤0，即W₀≤0，
所以W<W₀≤0，即y₁-y₂<0，
所以y₁<y₂．