已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=12-x，若g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（-14，16）B．（-14，16]C．[−1

Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=(1)/(2)-x，若g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-(1)/(4)，(1)/(6)）
B．（-(1)/(4)，(1)/(6)]
C．[−(1)/(6)，(1)/(4)]
D．(−(1)/(6)，(1)/(4))

Answer 1

设得x+1∈[0，1]，此时f（x+1）=(1)/(2)-（x+1）=-x-(1)/(2)
∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）
∴当-1≤x≤0时，f（x）=x+(1)/(2)．
又∵f（x+2）=-f（x+1）═-[f（-x）]=f（x）
∴f（x）是以2为周期的函数，可得当1≤x≤2时，f（x）=f（x-2）=x-(3)/(2)．
综上所述，得f（x）区间（-1，2]上的表达式为f（x）=

x+(1)/(2)     x∈(−1，0]

(1)/(2)−x     x∈(0，1]

x−(3)/(2)      x∈(1，2] 

为了研究g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]上的零点，将其变形为
f（x）=m（x+1），在同一坐标系内作出y=f（x）和y=m（x+1）的图象，
如右图所示，y=f（x）图象是三条线段构成的折线，y=m（x+1）的图象是直线
因为直线y=m（x+1）经过定点A（-1，0），所以由图象可得当直线y=m（x+1）
位于图中AB、AC之间（包括AC）活动时，两个图象有三个公共点，相应地
g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]也有3个零点
∵B（1，-0.5），C（2，0.5），
∴k_AB=(−0.5−0)/(1−(−1))=-(1)/(4)，k_AC=(0.5−0)/(2−(−1))=(1)/(6)
而直线y=m（x+1）的斜率为m，它在AB、AC之间（包括AC）活动时，m（-(1)/(4)，(1)/(6)]．
因此，使得g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点的m取值范围为（-(1)/(4)，(1)/(6)]