已知f(x)满足4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),f(1)=1/4,求f(x).我知道原题不是这个.原题我也会做.但是这个函数貌似只能是f(x)=1/2sin(πx/3).但是这个怎么证明嘞呢?我之所以认为这个函数确定,是因为我把一个类

Question

已知f(x)满足4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),f(1)=1/4,求f(x).
我知道原题不是这个.原题我也会做.但是这个函数貌似只能是f(x)=1/2sin(πx/3).但是这个怎么证明嘞呢?我之所以认为这个函数确定,是因为我把一个类似的推出来了：f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=-2/3 证明如下：
令=1/n(n于N+),∴f(a+1/n)-f(a)=f(1/n).即[f(a+1/n)-(a)]/(1/n)=f(1/n)/(1/n)=nf(1/n)=f(1)
当n趋近于正无穷时,可得f`(a)=f(1)=-2/3.∴这是一条直线,k=-2/3.带入（1,-2/3）得
f(x)=-2/3x.
我几乎可以确定这个条件可以推出那个确定的三角函数.求大师解答.

Answer 1

我想你的题目中应该缺了一个条件,函数是连续的.
这类题目我以前做过,首先你的那个题的推导不能算做证明,并不严密.
我证明一下你后面的那个题（比较简单）,你试试能不能推出前面那个.
你用导数是不对的,我想条件中应该没有可导这个条件吧.
证明：由f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0
f(n)=f(1)+f(1)+...+f(1),得f(n)=nf(1)
f(1)=f(1/n)+f(1/n)+...+f(1/n)=nf(1/n),得：f(1/n)=(1/n)f(1)
f(n/m)=nf(1/m)=(n/m)f(1)
综上：f(x)=xf(1)对全体有理数是成立的；
由于函数连续,因此f(x)=xf(1)对于全体实数成立（因为无理数可以表示为有理点列的极限）
则,f(x)=-(2/3)x