e^(z^2)cos(z^2)在z=0处的泰勒级数,并指出其收敛半径

Question

e^(z^2)cos(z^2)在z=0处的泰勒级数,并指出其收敛半径

Answer 1

首先 e^x=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!
这里 \sum_{n=0}^\infty 表示从0到无穷求和
且有欧拉公式 cosx=(e^(ix)+e^(-ix))/2
因此
cos(z^2)=(e^(iz^2)+e^(-iz^2))/2
e^(z^2)cos(z^2)=(e^((i+1)z^2)+e^((1-i)z^2))/2
接下来 e^((i+1)z^2) = \sum_{n=0}^\infty ((i+1)z^2)^n/n!
e^((1-i)z^2)= \sum_{n=0}^\infty ((1-i)z^2)^n/n!
因此
e^(z^2)cos(z^2)= \sum_{n=0}^\infty ((i+1)^n+(1-i)^n)/(2n!) * z^(2n)
收敛半径容易看出来 是无穷