关于复数1.若z=cosθ+isinθ,则复数u=3z+1/z在复平面内所对应的点的轨迹的普通方程是什么?2.已知f(z)=|1+z|-（z的共轭复数）且f(z)=10+3i,求复数z

Question

关于复数
1.若z=cosθ+isinθ,则复数u=3z+1/z在复平面内所对应的点的轨迹的普通方程是什么?
2.已知f(z)=|1+z|-（z的共轭复数）且f(z)=10+3i,求复数z

Answer 1

(1)因为 1/z=1/(cosθ+isinθ)=cosθ-isinθ,所以
u=3z+1/z=3(cosθ+isinθ)+(cosθ-isinθ)=4cosθ+2isinθ.
记 x=4cosθ,y=2sinθ,则(x,y)代表了复数u在直角坐标系下的坐标.
容易看出 cosθ=x/4,sinθ=y/2,所以 (x/4)^2+(y/2)^2=1,因此复数u在复平面内所对应点的轨迹是椭圆.
(2)设 z=a+bi,其中a,b均为实数.由题意：
|1+z|-(z的共轭)
=|1+a+bi|-(a-bi)
=|1+a+bi|-a+bi
=10+3i
注意到模|1+a+bi|是实数,而由两个复数相等等价于实部,虚部分别相等,所以
|1+a+bi|-a=10 以及 b=3.
将b=3代入第一个方程即得 |1+a+3i|=a+10,即 根号[(1+a)^2+9]=a+10.
两边平方得到 (1+a)^2+9=(a+10)^2.解此方程得到 a=-5,因此复数z为
z= -5+3i.