正多面体的面数.棱数,顶点数之和存在一个巧妙的关系,若用FEU分别表示正多面体的面数棱数,顶点数,则有F+U-E=2,现在有一个正多面体共有30条棱,20个顶点,求这个正多面体的面数,棱数,顶点数

Question

正多面体的面数.棱数,顶点数之和存在一个巧妙的关系,
若用F E U分别表示正多面体的面数 棱数,顶点数,则有F+U-E=2,现在有一个正多面体共有30条棱,20个顶点,求这个正多面体的面数,棱数,顶点数之和.

Answer 1

每个顶点连的边的个数相等记为d 则d*U=每条边算了两次=2*E=60
同理设每个面由m条边构成,则m*F=60 也就是说F,U都是60的约数,F+U=32
可能的组合为(2,30),(12,20), 第一个显然不可能 所以(F,U)=(12,20)
然后还需要构造发现 F=12,U=20,与F=20,U=12 都是允许的情况
所以这个多面体可以是正12,或正20面体