（2010•奉贤区一模）数列{an}的前n项和记为Sn，前kn项和记为Skn（n，k∈N*），对给定的常数k，若S(k+1)nSkn是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{an}是“k类和科比数列”．（1）已知Sn＝43an

Question

（2010•奉贤区一模）数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若(S(k+1)n)/(Skn)是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（1）已知Sn＝(4)/(3)an−(2)/(3)(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列an＝2cn，求证数列c_n是一个“1 类和科比数列”（4分）；
（3）设等差数列{b_n}是一个“k类和科比数列”，其中首项b₁，公差D，探究b₁与D的数量关系，并写出相应的常数t=f（k）．

Answer 1

（1）联立：

Sn＝(4)/(3)an−(2)/(3)

Sn−1＝(4)/(3)an−1−(2)/(3)(n≥2)

，
∴(4)/(3)an−(4)/(3)an−1＝an，
∴(an)/(an−1)＝4(n≥2)，
所以{a_n}是等比数列，
由 a1＝(4)/(3)a1−(2)/(3)，得 a₁=2，
故 a_n=2•4^n-1 =2^2n-1 ．
（2）c_n=2n-1前n项的和S_n=n²（1分）
S_2n=4n² ，(S2n)/(Sn)＝4，
所以数列{a_n}是一个“1类和科比数列”．
（3）对任意一个等差数列数列b_n，首项b₁，公差D，
Skn＝knb1+(kn(kn−1))/(2)D．
S(k+1)n＝(k+1)nb1+((k+1)n((k+1)n−1))/(2)D，
(S(k+1)n)/(Skn)＝((k+1)b1+((k+1)((k+1)n−1))/(2)D)/(kb1+(k(kn−1))/(2)D)＝t，对一切n∈N^*恒成立，
2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt对一切n∈N^*恒成立，
（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）对一切n∈N^*