若函数f在区间[a,b]上连续,且对每一个x∈[a,b]都存在y∈[a,b],使得|f(y)|≤1/2|f(x)|.证明：函数f在[a,b]中有零点.

Question

若函数f在区间[a,b]上连续,且对每一个x∈[a,b]都存在y∈[a,b],使得 |f(y)| ≤ 1/2 |f(x)| .
证明：函数f在[a,b]中有零点.

Answer 1

反证法
假设不存在ζ∈[a,b],使得f（ζ）=0,因为连续函数是有界的,那么要么有f（x）>0对任意x∈[a,b]恒成立,要么f（x）0对任意x∈[a,b]恒成立
f肯定有最小值,记为min,则min>0根据结论,必存在min1∈[a,b],使得f（min）=2f(min)对于min1,可以继续找到min2使得f（min2）>=2f(min1),这样连续找下去,记第k个自变量值为mink,则f（mink）>=f（min）*2^k,
f（min）>0,那么当k趋于无穷时显然f（mink）也趋于无穷,这就推出函数无界,和函数f在闭区间[a,b]连续矛盾,因此,假设不成立,原命题为真.
（x