（2014•榆林模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD（Ⅰ）证明：平面SBD⊥平面SAC（Ⅱ）当SA=AD时，且∠ABC=60°时，求平面SAD与平面SBC所成角θ的余弦值．

Question

（2014•榆林模拟）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD
（Ⅰ）证明：平面SBD⊥平面SAC
（Ⅱ）当SA=AD时，且∠ABC=60°时，求平面SAD与平面SBC所成角θ的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结AC、BD，相交于点O，
∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC，
又BD⊂平面SBD，
∴平面SBD⊥平面SAC．
（Ⅱ）取BC的中点E，以A点为原点，AE、AD、AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设SA=AD=DC=2，由∠ABC=60°°，
得A（0，0，0），B（√(3)，-1，0），C（√(3)，1，0），
D（0，2，0），S（0，0，2），
∴平面SAD的一个法向量

AE

＝(√(3)，0，0)，
设平面SBC的一个法向量

n

＝(x，y，z)，
∵

BS

＝(−√(3)，1，2)，

BC

＝(0，2，0)，
∴由

作业帮用户 2017-09-29 举报

问题解析

（Ⅰ）连结AC、BD，相交于点O，由已知条件推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而得到BD⊥平面SAC，由此能证明平面SBD⊥平面SAC．
（Ⅱ）取BC的中点E，以A点为原点，AE、AD、AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成角θ的余弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查平面与平面垂直的证明，考查平面与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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