（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN．（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想

Question

（2014•菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM•DN的值．
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，
∴∠CBM=∠CDN=45°，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠NAD=45°，
在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，
∴∠NAD=∠AMB，
在△ABM和△NDA中，

∠ABM＝∠ADN

∠NAD＝∠AMB

，
∴△ABM∽△NDA，
∴(AB)/(DN)=(BM)/(AD)，
∴BM•DN=AB•AD=a²；

（2）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．
证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF=AN，连接BF、FM，
∵∠1+∠BAN=90°，
∠3+∠BAN=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABF和△ADN中，

AB＝AD

∠1＝∠3

AF＝AN

，
∴△ABF≌△ADN（SAS），
∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，
∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，
∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，
在△AFM和△ANM中，

AF＝AN

∠FAM＝∠MAN

AM＝AM

，
∴△AFM≌△ANM（SAS），
∴FM=NM，
∴∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°，
∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，
∴△FBM是直角三角形，
∵FB=DN，FM=MN，
∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．