（2008年龙岩市）（14分）如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随

Question

（2008年龙岩市）（14分）如图,等腰梯形ABCD中,
AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向
向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA
方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个
动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,
请找出点M,并求出BM的长；不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）过A向CD作AE垂直于DE,则DE=（9-4）/2=2.5,∠DAE=30°,故AD=2×DE=5
AD=5
(2)CP=DQ
DP=9-x,DQ=x,∠D=60°
S(△PDQ)=1/2×DP×(DQ×sin60°)=x(9-x)/4,0当x=4.5时,S最大.Smax=5.0625
(3)假设存在.则要为菱形,QM//DP,MP//DQ,∠MPC=60°,MP=PC=MC=x
所以,只需DP=PM
9-x=x
x=4.5
满足条件.即M与B点重合