（2014•漳州一模）巳知函数f（x）=x2-2ax-2alnx，g（x）=ln2x+2a2，其中x＞0，a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（

Question

（2014•漳州一模）巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx，g（x）=ln²x+2a²，其中x＞0，a∈R．
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）记F（x）=f（x）+g（x），求证：F(x)≥(1)/(2)．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝2x−2a−(2a)/(x)＝(2x2−2ax−2a)/(x)(x＞0)；
∵x=1是函数f（x）的极值点；
∴f′（1）=2-2a-2a=0，解得a＝(1)/(2)；
经检验x=1为函数f（x）的极值点，所以a＝(1)/(2)．
（II）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增；
∴f′(x)＝(2x2−2ax−2a)/(x)≥0在区间（2，+∞）上恒成立；
∴a≤(x2)/(x+1)对区间（2，+∞）恒成立；
令M(x)＝(x2)/(x+1)，则M′(x)＝(2x(x+1)−x2)/((x+1)2)＝(x2+2x)/((x+1)2)；
当x∈（2，+∞）时，M′（x）＞0，有M(x)＝(x2)/(x+1)＞M(2)＝(4)/(3)；
∴a的取值范围为(−∞，(4)/(3)]．                    
（Ⅲ）F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²=2[a2−(x+lnx)a+(x2+ln2x)/(2)]；
令P(a)＝a2−(x+lnx)a+(x2+ln2x)/(2)；
则P(a)＝(a−(x+lnx)/(2))2−((x+lnx)/(2))2+(x2+ln2x)/(2)=(a−(x+lnx)/(2))2+((x−lnx)2)/(4)≥((x−lnx)2)/(4)；
令Q（x）=x-lnx，则Q′(x)＝1−(1)/(x)＝

作业帮用户 2017-09-25 举报

问题解析

（Ⅰ）根据极点的定义很容易求出a的值，由于只是导函数在一点的导数等于0，不能说明这一点是极点，所以求出a之后需验证它是否是极点．
（Ⅱ）由f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，便得到在该区间上f′（x）≥0，然后用x表示a，即得到a≤

(x2)/(x+1)，只需求(x2)/(x+1)的范围即可．
（Ⅲ）求出F（x）=x²-2ax-2alnx+ln²x+2a²，通过观察F（x）的解析式的形式，能够想到解析式里可能存在完全平方式，所以试着构造完全平方式，结果能构造出完全平方式，并得到：F（x）=2(a−(x+lnx)/(2))2+((x−lnx)2)/(2)≥((x−lnx)2)/(2)，所以只要x-lnx≥1即可，这点的说明，利用求导数，根据单调性判断即可．

名师点评

本题考点：

利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：

第一问中的a是比较容易求出的，然而需验证求的a符合题意，这需要理解极值的定义．第二问是根据函数导数符号与函数单调性的关系去求解的，而比较关键的是得到a≤(x2)/(x+1)．第三问的关键是构造完全平方式，使一个完全平方式里含a，另一个不含a，因为a的值不确定，并且要证的不等式的右边不含a．

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