已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x,其中e为自然数对数的底数,a,b,c为常数,若函数f(x)在=-2处取得极值（1）且x趋向于0时lim[(f(x)-c)/x]=4时求实数b.c的值（2）且x趋向于0时lim[(f(x)-c)/x]=4时若函数f(x）在区

Question

已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x,其中e为自然数对数的底数,a,b,c为常数,若函数f(x)在=-2处取得极值
（1）且x趋向于0时lim [(f(x)-c)/x] =4时 求实数b.c的值
（2）且x趋向于0时lim [(f(x)-c)/x] =4时若函数f(x）在区间【1,2】上是增函数,求实数a的取值范围

Answer 1

（1）由f(x)=(ax^2+bx+c)e^x可知f(0)=c,而x趋向于0时lim [(f(x)-c)/x]=[(f(x)-f(0))/(x-0)]=f(x)在x=0处的导数,因此对f(x)求导得其导数的表达式为：(2ax+b)e^x+(ax^2+bx+c)e^x,将x=0代入,得：b+c=4；又因为f(x)在x=-2时取极值,因此f(x)在x=-2处的导数为零,将x=-2代入其导数表达式中,得b-c=0,因此b=c,又b+c=4,所以b=c=2.
（2）由（1）知f(x)=(ax^2+2x+2)e^x,其导数为：(2ax+2)e^x+(ax^2+2x+2)e^x=[ax^2+(2+2a)x+4]e^x.因为函数f(x）在区间【1,2】上是增函数,所以其导函数在区间【1,2】上大于零,由于e^x>0恒成立,因此只需令ax^2+(2+2a)x+4>0即可.为此求函数g(x)=ax^2+(2+2a)x+4的导数：2ax+2+2a并令其为零,得x=(a+1)/a=1+1/a.
若a<0,则1+1/a<1只需令两端点处的函数值即g(1)与g(2)大于零即可,得：
-1若a>1,则1<1+1/a<2,此时抛物线g(x)开口向上,只需令g(1+1/a)>0即可,得：a>1;
若02,此时令g(1)与g(2)大于零,得：0当a+0,1,-1时,g(x)>0也成立.
综上,a的取值范围是：a>-1.
思路是这样,供你参考吧.