（2011•福州模拟）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝3，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

Question

（2011•福州模拟）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝√(3)，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=√(3)，BE=3，∴EC=2√(3)，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，∴EF⊥CE（3分）由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，（5分）∴EF⊥平面DCE（6分）
（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．（8分）
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=2√(3)
∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴BH＝BE•sin∠BEH＝(3√(3))/(2)（10分）
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得AB＝BH•tan∠AHB＝(9)/(2)，
所以当AB＝(9)/(2)时，二面角A-EF-C的大小为60°（13分）
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．（7分）
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（√(3)，0，a），B（√(3)，0，0），E（

作业帮用户 2017-10-07 举报

问题解析

（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=√(3)，BE=3，由勾股定理，我们易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，则DC⊥EF，进而由线面垂直的判定定理得到答案．
（II）方法一（几何法）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，易得∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A-EF-C的大小为60°时，AB的长．
方法二（向量法）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角A-EF-C的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．

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