（2014•邢台二模）已知函数f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率为l的直线与函数f（x）的图象相切于（1，0）点．（Ⅰ）求h（x）=f（x）-xlnx的单调区间；（Ⅱ）当实数0＜a＜1时，讨论g(x)＝f(x)−(a+x)lnx

Question

（2014•邢台二模）已知函数f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率为l的直线与函数f（x）的图象相切于（1，0）点．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）-xlnx的单调区间；
（Ⅱ）当实数0＜a＜1时，讨论g(x)＝f(x)−(a+x)lnx+(1)/(2)a

x

2

的极值点．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知：f′（x）=b（lnx+(x+1)/(x)）-1，f′（1）=2b-1=1，b=1，
h（x）=f（x）-xlnx=lnx-x+1，h′（x）=(1)/(x)-1，
h′（x）=(1)/(x)-1＞0解得0＜x＜1；
h′（x）=(1)/(x)-1＜0解得x＞1；
∴h（x）=f（x）-xlnx的单调增区间（0，1）；单调减区间（1，+∞）；
（Ⅱ）实数0＜a＜1时，g(x)＝f(x)−(a+x)lnx+(1)/(2)a

x

2

，
∴g′（x）=(1−a)/(x)+ax-1=(ax2−x+1−a)/(x)=(a[x−((1)/(a)−1)](x−1))/(x)，
由g′（x）=0得x₁=(1)/(a)-1，x₂=1，
1、若0＜(1)/(a)-1＜1，a＞0即(1)/(2)＜a＜1，0＜x₁＜x₂，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

此时g（x）的最小值为x=1，极大值点x=(1)/(a)-1，
2、若(1)/(a)-1=1，a＞0，即a=(1)/(2)，x₁=x₂=1，则g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上为单调增区间，无极值点，
3、若(1)/(a)-1＞1，a＞0即0＜a＜(1)/(2)，x₁＞x₂=1，

x	（0，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

此时g（x）的极大值点为x=1，极小值点x=(1)/(a)-1，
综上：当(1)/(2)＜a＜1时，g（x）的极值点为x=1，极大值点x=(1)/(a)-1；
当a=(1)/(2)时，g（x）无极值点为x=1，极小值点x=(1)/(a)−1；
当0＜a