中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．e2−12

Question

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C₁的离心率为e，直线l与双曲线C₁交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（　　）

A．(e2−1)/(2)
B．e²-1
C．(e2+1)/(2)
D．e²+1

Answer 1

∵M在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，
∴M的横坐标为(p)/(2)，∴M（(p)/(2)，p）
设双曲线方程为(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1（a＞0，b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
(x12)/(a2)−(y12)/(b2)＝1，(x22)/(a2)−(y22)/(b2)＝1
两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得(p(x1−x2))/(a2)−(2p(y1−y2))/(b2)＝0
∴(y1−y2)/(x1−x2)＝(b2)/(2a2)
∴(y1−y2)/(x1−x2)＝(a2−c2)/(2a2)＝(e2−1)/(2)
故选A．