已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.（1）求双曲线C2的方程（2）若直线l:y=kx+√2与C1和C2都恒有两个不同交点,且l与C

Question

已知椭圆C1的方程为x^2/4+y^2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左右焦点.
（1）求双曲线C2的方程
（2）若直线l:y=kx+√2与C1和C2都恒有两个不同交点,且l与C2的两个交点A,B还满足向量OA*向量OB<6(O为原点）,求k的取值范围

Answer 1

C1的方程为x^2/4+y^2=1,左右顶点（-2,0）（2,0）,焦点（根号3,0）（-根号3,0）
设双曲线C2的方程x^2/a^2-y^2/b^2=1
a^2+b^2=4
a^2=3
b^2=1
因此双曲线C2的方程为x^2/3-y^2/=1
（2）
将y=kx+ √2代入 x^2/4+y2=1得（1+4k^2）x^2+8 kx+4=0
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得△1= -16（1+4k^2）=16（4k^2-1）＞0,
即k^2＞1/4 ①
将y=kx+√2 代入x^2/3 -y2=1得（1-3k^2）x^2-6 kx-9=0．
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得即k^2≠ 1/3且k^2＜1．②
设A（xA,yA）B（xB,yB）,则xA+xB=6√2k/(1-k^2) ,xA•xB= -9/(1-3k^2)
由 向量OA*向量OB<6 得xAxB+yAyB＜6,
而xAxB+yAyB=xAxB+（kxA+ √2）（kxB+√2 ）
=（k^2+1）xAxB+ √2（xA+xB）+2
=（k2+1）^2( -9/(1-3k^2)• +√2 k•(6√2k/(1-k^2) ) +2
= (3k^2+7)/(3k^2-1)
于是 (3k^2+7)/(3k^2-1)＜6,解此不等式得k^2＞13/15 或k^2＜1/3 ．③
由①、②、③得 1/4＜k^2＜1/3或13/15 ＜k^2＜1．
真是道好题,花了我10分钟啊