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高等代数题目求证:若(x^3+x^2+x+1)丨(f(x^2)+xg(x^2)),则(x+1)丨f(x),(x+1)丨g(x).
题目详情
高等代数题目 求证:若(x^3+x^2+x+1)丨(f(x^2)+xg(x^2)),则(x+1)丨f(x),(x+1)丨g(x).
▼优质解答
答案和解析
用带余除法
f(x)=(x+1)p(x)+s
g(x)=(x+1)q(x)+r
那么f(x^2)+xg(x^2)=(x^2+1)[p(x^2)+xq(x^2)]+(rx+s)
注意x^2+1是f(x^2)+xg(x^2)的因子,所以rx+s=0,即r=s=0
f(x)=(x+1)p(x)+s
g(x)=(x+1)q(x)+r
那么f(x^2)+xg(x^2)=(x^2+1)[p(x^2)+xq(x^2)]+(rx+s)
注意x^2+1是f(x^2)+xg(x^2)的因子,所以rx+s=0,即r=s=0
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