（2005•泸州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC=CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．（1）求∠ACB的度数；（2）求证：AE=CE；（3）求证：AC2=AE•AF．

Question

（2005•泸州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，AC=CF，CD⊥AB于D，且交⊙O于G，AF交CD于E．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求证：AE=CE；
（3）求证：AC²=AE•AF．

Answer 1

（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．

（2）证明：连接AG，∵AB为直径，且AB⊥CG，
∴AC=AG，
又∵AC=CF，
∴AG=CF，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．

（3）证明：连接CF，
由（2）可知：AG=AC，
∴∠ACE=∠AFC
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，
∴(AC)/(AE)＝(AF)/(AC)，
∴AC²=AE•AF．