（2010•泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC．（1）求证：AE⊥DE；（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求FGAF的值．

Question

（2010•泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求(FG)/(AF)的值．

Answer 1

（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°．                      （1分）
又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，（2分）
∴∠AED=90°，（3分）
∴AE⊥DE．                                 （4分）

（2）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，
∴∠DAE=∠BEA．                           （5分）
又∵∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=5．                               （6分）
同理EC=CD=5．
∴AD=BC=BE+EC=10．                        （7分）
在Rt△AED中，DE=√(AD2−AE2)=√(102−82)=6． （8分）
又∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠FAG=∠DAE．
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∴tan∠FAG=(FG)/(AF)，
∴(FG)/(AF)=tan∠DAE=(DE)/(AE)=(6)/(8)=(3)/(4)．