（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形O

Question

（2014•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（-4，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=(1)/(2)x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为√(5)：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）把点A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y=ax²+bx+3，
得

16a−4b+3＝0

a−b+3＝0

，解得

a＝(3)/(4)

b＝(15)/(4)

，
∴抛物线的解析式为：y=(3)/(4)x²+(15)/(4)x+3．

（2）①如答图2-1，过点D作DH⊥x轴于点H．

∵S_▱ODAE=6，OA=4，
∴S_△AOD=(1)/(2)OA•DH=3，
∴DH=(3)/(2)．
因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，
∴(3)/(4)x²+(15)/(4)x+3=-(3)/(2)，
解得：x₁=-2，x₂=-3．
∴点D坐标为（-2，-(3)/(2)）或（-3，-(3)/(2)）．
当点D为（-2，-(3)/(2)）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；
当点D为（-3，-(3)/(2)）时，OD≠AD，平行四边形ODAE不为菱形．
②假设存在．
如答图2-2，过点D作DM⊥CQ于M，过点C作CN⊥DF于N，则DM：CN=

作业帮用户 2016-12-09 举报

问题解析

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析．如答图2-1，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；
②本问为存在型问题．如答图2-2，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、相似三角形、平行四边形、菱形等知识点．第（2）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．

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