（2014•内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于

Question

（2014•内江）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如图1，
∵A（-3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（-3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

9a−3b+c＝0

c＝4

25a+5b+c＝4

解得：

a＝−(1)/(6)

b＝(5)/(6)

c＝4

∴抛物线的解析式为y=-(1)/(6)x²+(5)/(6)x+4．
（2）如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（-3，0）、B（5，4）在直线AB上，
∴

−3m+n＝0

5m+n＝4

解得：

作业帮用户 2017-11-02 举报

问题解析

（1）如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式．
（2）如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式．设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题．
（3）由于AB为直角边，分别以∠BAM=90°（如图3）和∠ABM=90°（如图4）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评：

本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的性质与判定、二次函数的最值等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强．

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