（2014•孝感一模）如图，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ=33，则AD的长为（）A．12B．23C．3D．2

Question

（2014•孝感一模）如图，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D、E、F作BC、AC、AB的垂线，得到等边△RPQ，若S_△RPQ=(√(3))/(3)，则AD的长为（　　）

A．(1)/(2)
B．(2)/(3)
C．√(3)
D．2

Answer 1

如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=(1)/(2)SF=(1)/(2)a，
在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=(1)/(2)a×(√(3))/(3)=(√(3))/(6)a，
∴S_△RSF=(1)/(2)a•(√(3))/(6)a=(√(3))/(12)a²．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD•sin30°=(1)/(2)x，SD=2ND=2ADcos30°=√(3)x，
∴S_△ADS=(1)/(2)SD•AN=(1)/(2)•√(3)x•(1)/(2)x=(√(3))/(4)x²．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S_△RSF=3×(√(3))/(12)a²=(√(3))/(4)a²，
∴S_△RPQ=S_△ADS+S_△CFT+S_△BEW=3S_△ADS，
∴(√(3))/(3)=3×(√(3))/(4)x²，得x²=(4)/(9)，
解得x=(2)/(3)或x=(2)/(3)（不合题意，舍去）
∴x=(2)/(3)，即AD的长为(2)/(3)．
故选B．