如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作AF⊥BE．垂足为点F，且AF=BE，过点F作MN∥BC，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形．

Question

如图，已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE，过点A作AF⊥BE．垂足为点F，且AF=BE，过点F作MN∥BC，与AB、CD边分别交于点M、N，求证：四边形AMND为正方形．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD=∠C=∠ABC=90°，BC=AD，
∵MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵AB∥CD，
∴四边形AMND是平行四边形，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴∠AMN=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°，
∵∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
又∵∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，
∴∠BAF=∠EBC，
在△AFM和△BEC中，

∠FAM=∠EBC

∠AMF=∠C=90°

AF=BE

，
∴△AFM≌△BEC（AAS），
∴AM=BC，
又∵AD=BC，
∴AM=AD，
又∵四边形AMND是矩形，
∴四边形AMND是正方形．