（2008•荆门）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不

Question

（2008•荆门）已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点为B（0，1），且b=-4ac．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在，说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；
（3）根据（2）小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系？

Answer 1

（1）将B（0，1）代入y=ax²+bx+c中，得c=1．
又∵b=-4ac，顶点A（-(b)/(2a)，0），
∴-(b)/(2a)=(4ac)/(2a)=2c=2．
∴A（2，0）．（2分）
将A点坐标代入抛物线解析式，得4a+2b+1=0，
∴

b=-4a

4a+2b+1=0

解得a=(1)/(4)，b=-1，
故抛物线的解析式为y=(1)/(4)x²-x+1．（4分）

（2）假设符合题意的点C存在，其坐标为C（x，y），作CD⊥x轴于D，连接AB、AC．
∵A在以BC为直径的圆上，
∴∠BAC=90°．
∴△AOB∽△CDA，
∴OB•CD=OA•AD，
即1•y=2（x-2），
∴y=2x-4，（6分）
由

y=2x-4

y=(1)/(4)x2-x+1

，
解得x₁=10，x₂=2．
∴符合题意的点C存在，且坐标为（10，16），或（2，0），（8分）
∵P为圆心，
∴P为BC中点，
当点C坐标为（10，16）时，取OD中点P₁，连PP₁，则PP₁为梯形OBCD中位线，
∴PP₁=(1)/(2)（OB+CD）=(17)/(2)．
∵D（10，0），
∴P₁（5，0），
∴P₂（5，(17)/(2)）．
当点C坐标为（2，0）时，取OA中点P₂，连PP₂，则PP₂为△OAB的中位线．
∴PP₂=(1)/(2)OB=(1)/(2)，
∵A（2，0），
∴P₂（1，0），
∴P（1，(1)/(2)）．
故点P坐标为（5，(17)/(2)），或（1，(1)/(2)）．（10分）

（3）设B、P、C三点的坐标为B（x₁，y₁），P（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由（2）可知：

作业帮用户 2017-11-04 举报