（2009•梅州）如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP=t，△OPQ的面积为S，求S

Question

（2009•梅州）如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．
（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP=t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0＜t＜2时，S的最大值；
（3）直线L₁过点A且与x轴平行，问在L₁上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由题意得（1）y=1-x；（2）∵OP=t，∴Q点的横坐标为12t，①当0＜12t＜1，即0＜t＜2时，QM＝1−12t，∴S△OPQ=12t（1-12t）．②当t≥2时，QM=|1-12t|=12t-1，∴S△OPQ=12t（12t-1）．∴S＝12t(1−12t)，0＜t＜212t(12...