已知函数f（x）=x2-2x-8，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²-2x-8，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

∵f（x）=x²-2x-8．当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1）．
∴对一切x＞2，均有不等式(x2−4x+7)/(x−1)≥m成立．
而(x2−4x+7)/(x−1)=（x-1）+(4)/(x−1)-2≥2√((x−1)•(4)/(x−1))−2＝4−2＝2，（当x=3时等号成立）．
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．