（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂

Question

（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax²+bx+c．
（1）填空：△AOB≌△______≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，______）；
（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2-(1)/(2t)，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．

Answer 1

（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB与△DNA中，

OB＝NA

∠OBA＝∠NAD

AB＝DA

，
∴△AOB≌△DNA（SAS）．
同理△DNA≌△BMC．
∵点P（0，4），AP=t，
∴OA=OP-AP=4-t．
故答案是：DNA或△DPA；4-t；

（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4-t．
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4-t=4，
∴C（4，t）．
又抛物线y=ax²+bx+c过点O、C，
∴

c＝0

t＝16a+4b+c

，
解得 b=(1)/(4)t-4a；

（3）当t=1时，抛物线为y=ax²+（(t)/(4)-4a）x，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D（3，4），
∴直线OD为：y=(4)/(3)x．
联立方程组，得

y＝ax2+((1)/(4)−4a)x

y＝(4)/(3)x

，
消去y，得
ax²+（-(13)/(12)-4a）x=0，
解得 x=0或x=4+

作业帮用户 2017-10-27

问题解析

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+4-t=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+c可以求得b=

(1)/(4)t-4a；
（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式y=(4)/(3)x．联立方程组，得

y＝ax2+((1)/(4)−4a)x

y＝(4)/(3)x

，所以ax²+（-(13)/(12)-4a）x=0，解得 x=0或x=4+(13)/(12a)．对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围；
（4）根据抛物线的解析式y=ax²+（(t)/(4)-4a）x得到顶点坐标是（-(t)/(8a)，-(1)/(64a)（t-16a）²）．结合已知条件求得a=(1)/(4)t²，故顶点坐标为（2-(1)/(2t)，-（t-(1)/(4)）²）．哟抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤(1)/(4)．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；全等三角形的判定与性质．

考点点评：

本题考查了二次函数综合题型．此题难度较大，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数图象的性质等知识点，综合性比较强，需要学生对所学知识进行系统的掌握．

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