设函数y（x）（x≥0）二阶可导，且y′（x）＞0，y（0）=1，过曲线y=y（x）上任意一点P（x，y）作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y

Question

设函数y（x）（x≥0）二阶可导，且y′（x）＞0，y（0）=1，过曲线y=y（x）上任意一点P（x，y）作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y（x）为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁-S₂恒为1，求此曲线y=y（x）的方程．

Answer 1

先画出坐标系，如上图所示．
则y=y（x）过P（x，y）的切线方程：
Y-y（x）=y′（x）（X-x），它与x轴的交点为：（x-(y)/(y′)，0）；
又y′（x）＞0，且y（0）=1，
因此y（x）＞0 （x＞0）．
所以S1＝(1)/(2)y|x−(x−(y)/(y′))|=(y2)/(2y′)；
又因为S₂=

∫

x 0

y（t）dt；
根据2S₁-S₂=1，得：
(y2)/(y′)−

∫

x 0

y（t）dt=1    ①
 则x=0，有y′（0）=1
对①式两端求导，得：
（y′）²=yy″；
令y′=p，则有
yp(dp)/(dy)＝p2；
分离变量得：(dp)/(p)＝(dy)/(y)；
解得p=C₁y，
即(dy)/(dx)=C₁y，解得：
y=eC1x+C2；
又因为y（0）=1，y′（0）=1，代入得：
C₁=1，C₂=0；
故所求曲线方程为：
y=e^x．