证明：对任何矩阵A有rank（ATA）=rank（AAT）其中AT表示A的转置，rank（B）表示B的秩．

Question

证明：对任何矩阵A有rank（A^TA）=rank（AA^T）其中A^T表示A的转置，rank（B）表示B的秩．

Answer 1

证明：只需证明A^TAx=0、AA^Tx=0、Ax=0是同解的即可
设α是Ax=0的解，则A^TAα=A^T（Aα）=0
即Ax=0的解是AA^Tx=0的解
反之，若α是A^TAx=0的解，则A^TAα═0
因此，α^TA^TAα=（Aα）^T（Aα），则Aα=0
即AA^Tx=0的解也是Ax=0的解
即Ax=0与AA^Tx=0同解
因此rank（A^TA）=r（A）
同理，可证AA^Tx=0、Ax=0是同解的
从而得到rank（AA^T）=r（A）
故：对任何矩阵A有rank（A^TA）=rank（AA^T）