设f（x）=limt→∞t2[g（2x+1t）-g（2x）]sinxt，且g（x）的一个原函数为ln（x+1），求∫10f（x）dx．

Question

设f（x）=

lim

t→∞

t²[g（2x+(1)/(t)）-g（2x）]sin(x)/(t)，且g（x）的一个原函数为ln（x+1），求

∫

1 0

f（x）dx．

Answer 1

由f（x）=

lim

t→∞

t²[g（2x+(1)/(t)）-g（2x）]sin(x)/(t)，得
f(x)＝

lim

t→∞

(sin(x)/(t))/((x)/(t))•(g(2x+(1)/(t))−g(x))/((1)/(t))＝xg′(2x)
∴

∫

1 0

f（x）dx=

∫

1 0

xg′(2x)dx＝(1)/(4)

∫

2 0

tg′(t)dt
=(1)/(4)[tg(t)

|

2 0

−

∫

2 0

g(t)dt]
而g（x）的一个原函数为ln（x+1），因此
g′(x)＝(1)/(1+x)
∴

∫

1 0

f（x）dx=(1)/(4)[(t)/(1+t)

|

2 0

−ln(t+1)

|

2 0

]
=(1)/(4)((2)/(3)−ln3)