如图，平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=32cm，∠B=45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）（1）求BC边上高AE的长度；（2）连接AN、CM，当t

Question

如图，平行四边形ABCD中，AD=9cm，CD=3√(2)cm，∠B=45°，点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6）

（1）求BC边上高AE的长度；
（2）连接AN、CM，当t为何值时，四边形AMCN为菱形；
（3）作MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，当t为何值时，四边形MPNQ为正方形．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3√(2)cm．
在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，
∴AE=AB•sin∠B=3√(2)×(√(2))/(2)=3（cm）；

（2）∵点M、N分别以A、C为起点，1cm/秒的速度沿AD、CB边运动，设点M、N运动的时间为t秒（0≤t≤6），
∴AM=CN=t，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴当AN=AM时，四边形AMCN为菱形．
∵BE=AE=3，EN=6-t，
∴AN²=3²+（6-t）²，
∴3²+（6-t）²=t²，
解得t=(15)/(4)．
故当t为(15)/(4)时，四边形AMCN为菱形；

（3）∵MP⊥BC于P，NQ⊥AD于Q，QM∥NP，
∴四边形MPNQ为矩形，
∴当QM=QN时，四边形MPNQ为正方形．
∵AM=CN=t，BE=3，
∴AQ=EN=BC-BE-CN=9-3-t=6-t，
∴QM=AM-AQ=t-（6-t）=2t-6，
∵QN=AE=3，
∴2t-6=3，
解得t=4.5．
故当t为4.5时，四边形MPNQ为正方形．