以平行六面体ABCD-A'B'C'D'的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率为多少?答案是367/385.

Question

以平行六面体ABCD-A'B'C'D'的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率为多少?答案是367/385.

Answer 1

平行六面体ABCD-A'B'C'D'的任意三个顶点为顶点作三角形共有C8,3个（前面8为下,后面3为上）
C8,3=8*7*6/（3*2）=56个
ABCD-A'B'C'D'所做的四边形有12个（六个面加上每条边的对棱组成的四边形）
每个4边形均有C4,3个三角形=4个,这4个三角形均为共面三角形有C4,2对共面三角形=6对
则该六面体内共有的共面三角形数为12*6=72对
即该六面体内共有72对共面三角形
这56个三角形之中,任选2个三角形概率为C56,2=1540种
所以减去72对共面三角形,共有1540-72=1468种不共面
所以这两个三角形不共面的概率为1468/1540=367/385