在xOy平面上，将双曲线的一支x29-y216=1（x＞0）及其渐近线y=43x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截

Question

在xOy平面上，将双曲线的一支(x2)/(9)-(y2)/(16)=1（x＞0）及其渐近线y=(4)/(3)x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积为______．

Answer 1

在xOy平面上，将双曲线的一支(x2)/(9)−(y2)/(16)＝1(x＞0)及其渐近线y＝(4)/(3)x和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．
则直线y=a与渐近线y=(4)/(3)x交于一点A（(3)/(4)a，a）点，与双曲线的一支(x2)/(9)-(y2)/(16)=1（x＞0）交于B（(3)/(4)√(a2+16)，a）点，
记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．
过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，
则截面面积S=π[((3)/(4)√(a2+16))2−((3)/(4)a)2]=9π，
利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，
∴Ω的体积V=9π×4=36π，
故答案为：36π