已知函数f（x）=x3-3a2x-6a2+4a（a>0）有且仅有一个零点x0，若x0>0，则a的取值范围是（）A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.（0，1]

Question

已知函数f（x）=x³-3a²x-6a²+4a（a>0）有且仅有一个零点x₀，若x₀>0，则a的取值范围是（　　）

A. （0，1）

B. （1，2）

C. （0，2）

D. （0，1]

Answer 1

令f'（x）=3x²-3a²=3（x-a）（x+a）=0，解得x₁=-a，x₂=a，
其中a>0，所以函数的单调性和单调区间如下：
x∈（-∞，-a），f（x）递增；x∈（-a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．
因此，f（x）在x=-a处取得极大值，在x=a处取得极小值，
结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x₀，且x₀>0，只需满足：
f（x）_极大值=f（-a）<0，即-a³+3a³-6a²+4a<0，
整理得a（a-1）（a-2）<0，解得，a∈（1，2），
故选B．