A,B为正定阵,证：AB是正定阵的充要条件是A,B可交换.

Question

A,B为正定阵,证：AB是正定阵的充要条件是A,B可交换.

Answer 1

充分性：由于A,B正定所以有可逆矩阵P、Q使A=PtP,B=QtQ,xtAx=xtPtPx=(Px)tPx=(Px)^2>0,xtBx=(Qx)tQx=(Qx)^2>0,xtABx=xtPtPQtQx,AB=BA时,(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA=AB说明AB是对称矩阵,Q(AB)Q^-1=QPtPQtQQ^-1=QPtPQt=(PQt)tPQt,由于PQt为可逆矩阵因而(PQt)tPQt是正定矩阵.令其为矩阵C,Q^-1CQ=AB,即AB相似于一正定矩阵,由这一点可以得出AB的所有特征值全部大于0,AB又是对称矩阵,根据正定矩阵的相关定理,说明AB是一正定矩阵.
必要性：由AB是正定矩阵推出AB为对称矩阵,又有充分性证明中,A=PtP,B=QtQ两个条件,因此就有AB=PtPQtQ=(AB)t=(PtPQtQ)t=QtQPtP=BA,即AB=BA说明A,B可换
注：Pt指P的转置,Q^-1指Q的逆矩阵