关于矩阵等价定义的问题矩阵等价定义是存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价,充要条件是A与B是同型矩阵且R(A)=R(B).可是PAQ=B,是说A一定可以通过有限次行或列初等变换到B,可是如果只是A和B的

Question

关于矩阵等价定义的问题
矩阵等价定义是存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则A与B等价,充要条件是A与B是同型矩阵且R(A)=R(B).可是PAQ=B,是说A一定可以通过有限次行或列初等变换到B,可是如果只是A和B的秩相等的话,不见得B一定能够让A通过初等变换过来吧.觉得秩相等那个推等价那个充要条件似乎和等价定义有矛盾,等价定义似乎是说两矩阵一定要可以通过初等变换相互推导比秩相等,更加严格

Answer 1

A与它的等价标准形 H=
Er 0
0 0
等价
即存在可逆矩阵P,Q 使得 PAQ=H
若A,B的秩相同, 则B 的等价标准形也是H
所以存在可逆矩阵P1,Q1 使得 P1BQ1=H
所以 PAQ=P1BQ1
所以 P1^-1PAQQ1^-1 = B
所以 A 可经初等变换化为B
即有A,B等价