五个连续自然数,之间一个是n,用代数式表示这五个自然数的平方和S当n=100时,求S试说明S的个位数字一定是5或0证明：连续四个正整数的积加上1是一个整数的平方；证明：任何五个相邻的整数

Question

五个连续自然数,之间一个是n,
用代数式表示这五个自然数的平方和S当n=100时,求S
试说明S的个位数字一定是5或0
证明：连续四个正整数的积加上1是一个整数的平方；
证明：任何五个相邻的整数平方和不是完全平方数。

Answer 1

五个连续自然数,之间一个是n
S=n-2+n-1+n+n+1+n+2
S=5n
当n=100时,
S=500
因为S=5n,是5的倍数
所以,S的个位数字一定是5或0
证明：连续四个正整数的积加上1是一个整数的平方；
设连续四个正整数为：n-1、n、n+1、n+2
n(n-1)(n+1)(n+2)+1=(n²+n)(n²+n-2)+1
=(n²+n)²-2(n²+n)+1
=(n²+n+1)²
得证