设方阵A满足A2-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

Question

设方阵A满足A²-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

Answer 1

证明：∵方阵A满足A²-A-2E=0，
∴A²-A=2E，
∴A×(A−E)/(2)=E
所以A可逆，逆矩阵为(A−E)/(2)，
∵方阵A满足A²-A-2E=0，
∴A²=A+2E，
由A可逆知A²可逆，
所以A+2E可逆，
逆矩阵为[(A−E)/(2)]²=((A−E)2)/(4)