（2014•包头一模）（1）证明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）对任意的实数a（a≠0）和b恒成立，求实数x的取值范围．

Question

（2014•包头一模）（1）证明：|a+b|+|a-b|≥2|a|，并说明等号成立的条件；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-2|+|x-3|）对任意的实数a（a≠0）和b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：|a+b|+|a-b|≥|（a+b）+（a-b）|=2|a|，…3分
当且仅当（a-b）（a+b）≥0时等号成立，即|a|≥|b|…5分
（2）由（1）得(|a+b|+|a−b|)/(|a|)≥2，即(|a+b|+|a−b|)/(|a|)的最小值为2，
于是|x-2|+|x-3|≤2…6分
当x＜2时，原不等式化为-（x-2）-（x-3）≤2，解得x≥(3)/(2)，
所以x的取值范围是(3)/(2)≤x＜2；…7分
当2≤x≤3时，原不等式化为（x-2）-（x-3）≤2，即-5≤2恒成立，
所以x的取值范围是2≤x≤3；…8分
当x＞3时，原不等式化为（x-2）+（x-3）≤2，解得x≤(7)/(2)，
所以x的取值范围是3＜x≤(7)/(2)；…9分
综上所述，x的取值范围是(3)/(2)≤x≤(7)/(2)…10分