初等数论有三位数n,n*n（即n平方）的末三位数为n,求所有三位数n

Question

初等数论
有三位数n,n*n（即n平方）的末三位数为n,求所有三位数n

Answer 1

设这个数是abc.
则(100a+10b+c)^2=10000a^2+100b^2+c^2+2000ab+20bc+200ac
我们只需考虑100b^2+c^2+20bc+200ac记为A.
个位由c决定,c*c末位为c,c=0或5或6.
当c=0时,A=100b^2,推出b=0,进而推出a=0.不成立.
当c=5时,A=25+100b*b+100b+1000a,推出b=2,进而推出a=6.该数为625.
当c=6时,A=36+100b*b+120b+1200a,
2b+3=b+10,推出b=7,
100b*b百位为9,120b百位为8,1200a百位为2a,
所以有9+8+2a=a+20,推出a=3.该数为376.
所以n=625或376.