如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=1/2 CD=2,PA=2,E,F分别是PC,PD的中点．求直线AC与平面ABEF所成角的用向量方法解

Question

如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=1/2 CD=2,PA=2,E,F分别是PC,PD的中点．
求直线AC与平面ABEF所成角的

用向量方法解

Answer 1

取AB方向为x轴,AD方向为y轴,AP方向为z轴,则B（2,0,0）,C（4,2,0）,E（2,1,1）,F（0,1,1）
所以向量AB=（2,0,0）,向量AF=（0,1,1）,设向量n=(x,y,z)为平面ABEF的法向量,则
2x=0,y+z=0,可取法向量n=（0,1,-1）,向量AC=（4,2,0）
设直线AC与平面ABEF所成角为θ,则
sinθ=向量AC×向量n/(|向量AC｜×｜向量n｜）=2/(2√5×√2)=√10/10,
所以直线AC与平面ABEF所成角的正弦值为√10/10.