已知平行六面体的底面为一正方形,侧棱长及侧面角已知,如何求对面角及对角线长?想得到一般的解题方法.

Question

已知平行六面体的底面为一正方形,侧棱长及侧面角已知,如何求对面角及对角线长?
想得到一般的解题方法.

Answer 1

已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA'的长为b,∠A'AB=∠A'AD=1200.求对角线A'C的长,以及直线BD'和AC夹角的余弦值.过点 作底面ABCD的垂线,垂足为F,因为∠A'AB=∠A'AD,所以点F落在角平分线AC所在的直线上;延长DA至点G .根据条件有∠FAG= ,∠ = .所以,因此∠ ,所以∠ .根据余弦定理,得:= = 所以 取 的中点M,AC的中点N,连接MC,MN.根据三垂线定理,由第一问可知 ,所以四边形 是矩形,因此= ,所以MN= ,NC= ,在三角形CDM中,= cos∠MNC= = 因此直线BD'和AC夹角的余弦值为