立体图形旋转对称求正方体正四面体正八面体正六棱柱正四棱缀正十二面体正二十面体等有多少条旋转对称轴和这些旋转对称轴的重数

Question

立体图形旋转对称
求正方体 正四面体 正八面体 正六棱柱 正四棱缀正十二面体 正二十面体 等 有多少条旋转对称轴 和这些旋转对称轴的重数

Answer 1

设正多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F（面数）与n的积的一半,即
Nf=2E -------------- 1式
同时,E应是V（顶点数）与M的积的一半,即
mV=2E -------------- 2式
由1式、2式,得
F=2E/n,V=2E/m,
代入欧拉公式
V+F-E=2,
有
2E/m+2E/n-E=2
整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.
由于E是正整数,所以1/E>0.因此
1/m+1/n>1/2 -------------- 3式
3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立.另一方面,由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知,m>=3且n>=3.因此m和n至少有一个等于3
当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5
同理n=3,m也只能是3,4,5
所以
n m 类型
3 3 正四面体
4 3 正六面体
3 4 正八面体
5 3 正十二面体
3 5 正二十面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种