（2010•广安）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位

Question

（2010•广安）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD²=DE•DF，为什么？
（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵PC=PF，OA=OC，
∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，
∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，
∴∠AHF=90°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD²=DE•DF，理由如下：
连接AE．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD²=DE•DF．

（3）连接OD交AC于G．
∵OH=1，AH=2，
∴OA=3，即可得OD=3，
∴DH=√(OD2−OH2)=√(8)=2√(2)．
∵点D在劣弧AC中点位置，
∴AC⊥DO，
∴∠OGA=∠OHD=90°，
在△OGA和△OHD中，

∠OGA＝∠OHD

∠DOA＝∠AOD

OA＝OD

，
∴△OGA≌△OHD（AAS），
∴AG=DH，
∴AC=4√(2)．