（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，

Question

（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的(1)/(4)，请直接写出△ABC的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=(1)/(2)AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=4×6-2×(1)/(2)×4×3=12．

探究：
分为两种情况：①如图1，

∵S_△ACD=S_△BCD．
∴AD=BD=(1)/(2)AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=(1)/(2)AB=(1)/(2)×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的(1)/(4)，
∴S_△DOC=(1)/(4)S_△ABC=(1)/(2)S_△BDC=(1)/(2)S_△ADC=(1)/(2)S_△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=(1)/(2)AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=√(42−22)=2√(3)，
∴△ABC的面积是(1)/(2)×BC×AC=(1)/(2)×2×2√(3)=2

作业帮用户 2017-09-22 举报

问题解析

（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．

名师点评

本题考点：

四边形综合题．

考点点评：

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．

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