已知在任意四边形ABCD中，点E、F分别将AD、BC分成两部分，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求证：S四边形EPFQ=S△CDQ+S△ABP．

Question

已知在任意四边形ABCD中，点E、F分别将AD、BC分成两部分，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求证：S_{四边形EPFQ}=S_△CDQ+S_△ABP．

Answer 1

证明：作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H，DK⊥BC于K，过D点作DM⊥AG于M，交EH于N，如图，
点E、F分别将AD、BC分成两部分的比为m：n，即AE：ED=CF：BF=m：n，
S_△ABF=(1)/(2)AG•BF，S_△DCF=(1)/(2)DK•FC，S_△EBC=(1)/(2)EH•BC，
∵DM⊥AM，
∴MG=NH=DK，
∴S_△ABF=(1)/(2)（AM+DK）•BF=(1)/(2)AM•BF+(1)/(2)DK•BF，
∵EN∥AM，
∴△DNE∽△DMA，
而AE：ED=m：n，
∴(EN)/(AM)=(DE)/(DA)=(n)/(m+n)，
∴AM=(m+n)/(n)EN，
∵CF：BF=m：n，
∴BF=(n)/(m+n)BC，
∴S_△ABF+S_△DCF=(1)/(2)AM•BF+(1)/(2)DK•BF+(1)/(2)DK•FC=(1)/(2)AM•BF+(1)/(2)DK•BC=(1)/(2)•(m+n)/(n)EN•(n)/(m+n)BC+(1)/(2)DK•BC=(1)/(2)EN•BC+(1)/(2)DK+BC=(1)/(2)（EN+DK）•BC=(1)/(2)（EN+NH）•BC=
=(1)/(2)EH•BC，
∴S_△ABF+S_△DCF=S_△EBC，
∴S_△ABP+S_△PBF+S_△CDQ+S_△QFC=S_{四边形EPFQ}+S_△PBF+S_△QFC，
∴S_{四边形EPFQ}=S_△CDQ+S_△ABP．