如图,设P.Q为△ABC两点且向量AP=2/5AB+1/5AC,AQ=2/3AB+1/4AC,则S△ABP:S△ABQ=

Question

如图,设P.Q为△ABC两点且向量AP=2/5AB+1/5AC,AQ=2/3AB+1/4AC,则S△ABP:S△ABQ=____

Answer 1

连接 AP、AQ, 并分别延长交 BC 于 D、E .
由 AP=2/5*AB+1/5*AC=3/5*(2/3*AB+1/3*AC) 知,AP=3/5*AD ,且 AD=2/3*AB+1/3*AC ,
同理,AQ=11/12*AE ,且 AE=8/11*AB+3/11*AC .
设三角形 ABC 的面积 SABC=S ,
则由 BD=AD-AB=1/3*(AC-AB)=1/3*BC ,BE=AE-AB=3/11*(AC-AB)=3/11*BC
得 SABD=1/3*S ,SABE=3/11*S ,
由于 SABP=3/5*SABD=1/5*S ,SABQ=11/12*SABE=1/4*S ,
所以 SABP：SABQ=(1/5)：(1/4)=4：5 .