（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=23x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=52上．（1

Question

（2012•兰州）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=(2)/(3)x²+bx+c经过点B，且顶点在直线x=(5)/(2)上．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；
（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=(2)/(3)x2+bx+c经过点B（0，4）
∴c=4，
∵顶点在直线x=(5)/(2)上，
∴-(b)/(2a)=-(b)/(2×(2)/(3))=(5)/(2)，
∴b=-(10)/(3)；
∴所求函数关系式为y＝(2)/(3)x2−(10)/(3)x+4；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=√(OA2+OB2)＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），
当x=5时，y=(2)/(3)×52−(10)/(3)×5+ 4＝4，
当x=2时，y=(2)/(3)×22−(10)/(3)×2+ 4＝0，
∴点C和点D都在所求抛物线上；

（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，
则

5k+b＝4

2k+b＝0

，
解得：

作业帮用户 2016-12-01 举报

问题解析

（1）根据抛物线y=(2)/(3)x2+bx+c经过点B（0，4），以及顶点在直线x=(5)/(2)上，得出b，c即可；
（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．
（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=(5)/(2)时，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出(OM)/(OB)＝(ON)/(OD)，得到ON=(1)/(2)t，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议