在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-4，0），点B（0，4），将△ABO）绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，记旋转角为α，直线AA′与直线BB′相交于点P．（Ⅰ）如图①，当0°<α<90°时，求证

Question

在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-4，0），点B（0，4），将△ABO）绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，记旋转角为α，直线AA′与直线BB′相交于点P．
（Ⅰ）如图①，当0°<α<90°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，当90°<α<180°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅲ）求点P的纵坐标的最大值与最小值（直接写出结果即可）．

Answer 1

（Ⅰ）如图①，∵点A（-4，0），点B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，
∴OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，
∴∠OA′A=∠OB′B=(1)/(2)（180°-α）=90°-(1)/(2)α，
∵∠OA′P+∠OA′A=180°，
∴∠OB′B+∠OA′P=180°，
在四边形OA′PB中，∵∠A′PB+∠A′OB′+∠OB′B+∠OA′P=360°，
∴∠A′PB+∠A′OB′=180°，
∴∠A′PB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，
由（Ⅰ）得∴∠OAA′=∠OBB′=(1)/(2)（180°-α）=90°-(1)/(2)α，
在△AOC和△BCP中，∵∠ACO=∠BCP，
∴∠AOC=∠CPB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅲ）∵∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点E，过点E作直径PP′⊥x轴交x轴于F点，如图①，此时P点的纵坐标最大，点P′的纵坐标最小，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=4√(2)，
∴EP=EP′=2√(2)，
∵EF⊥OA，
∴EF=(1)/(2)OA=2，
∴FP=2√(2)+2，FP′=2√(2)-2，
∴P点的纵坐标为2+2√(2)，点P′的纵坐标为2-2√(2)，
即点P的纵坐标的最大值为2+2√(2)，最小值为2-2√(2)．